[통계] 정의역이란, 공역이란, 치역이란? 쉽게 알아보기!

 

통계 기본 개념중 치역, 공역, 정의역을 간단하고 재미있는 예시로 설명한다.

이 과정에서 함수의 기본 개념 및 예시도 함께 설명되니 끝까지 차근차근 읽어보면 좋을것이다!

 

기본 개념

우선 회사에서 야근을 하는 상황을 상상해보자.  야근하는 사람들은 투표로 야식을 정해야하는 상황이다.

 

이때,

함수는 사람들이 야근을 하는 사무실 현장이다.

정의역은 야근을 하는 회사원이다.

공역은 야식메뉴 목록의 음식들이다.

치역은 야식 메뉴로 회사원이 선택한 음식이다.

 

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정의역(定義域 domain(of definition))

집합 X에서 집합 Y로의 사상(寫像:함수) f에 대하여 X를 f의 정의역이라고 한다.

 

치역(値域 range)

함수가 취하는 값 전체의 집합을 일컫는다. 사상(함수) f:X → Y가 있을 때 집합 X를 f의 정의역(定義域), Y를 f의 공역(共域)이라 하고, X의 원소 x의 상(像) 전체의 집합 f(X)＝{f(x)|x∈X}를 f의 치역이라 한다. 이 때 f(X)는 공역 Y의 부분집합이다.

 

공역(共域 codomain)

집합 X의 임의의 원소 x에 대응하는 집합 Y의 원소 y를 나타내는 함수 y＝f(x)에서 집합 Y를 부르는 말이다. 공변역이라고도 한다.

 

함수(函數 function)

변수 x와 y 사이에 x의 값이 정해지면 따라서 y값이 정해진다는 관계가 있을 때, y는 x의 함수라고 한다. 이 때 x를 독립변수(獨立變數), y를 종속변수(從屬變數)라고 한다.

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예시로 보는 개념

그중 회사원을 X로, 음식을 Y로 가정해보자.

X인 회사원중에는 1번사람 2번사람 3번사람 4번사람이 있고,

Y인 음식중에는 A음식 B음식 C음식 D음식이 있다.

그럼 아래와같은 형태가 된다.

 

 

여기서 회사원은 먹고싶은 음식을 고를수 있다.

단! 규칙이 세가지 존재한다.

 

첫째. 회사원은 무조건 1개의 음식을 선택해야한다. 먹고싶은 음식이 없다고 선택을 하지 않으면 규칙 위반이다.

둘째. 회사원은 먹고싶은 음식이 여러개 있어도 반드시 1개의 음식만 선택해야한다.

셋째. 음식은 당연히 회사원을 선택할 수 없다(=Y는 X를 선택할 수 없다). 즉 음식은 여러명의 회사원으로부터 선택을 당해도 상관없다는 뜻이 된다.

 

 

여기서 선택을 당한 음식이 바로 '치역' 이다.

회사원들로부터 선택받지 못한 음식은 '공역'이 된다. (공역은 치역이 절대 될 수 없다.)

 

첫번째 예시

만약 야근하는 회사원 한명 한명이 각각의 음식을 선택하는 경우가 생길때가 있다. 이것을 일대일 대응이라고 한다.

일대일 대응을 다른시각으로 생각해보면, 원래 선택권이 없는 음식이 회사원을 선택한것과 같은 효과를 낸다고 볼 수 있다. 이것이 일대일 대응의 중요성이다. 

그림으로 보면 아래와 같은 형태가 될것이다.

일대일대응 1

                또는

 일대일대응 2

 

헷갈리지말자! 더보기 한번만 눌러보기v

 

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항등함수

항등함수 : 함수 f의 X→Y에서 정의역 X의 각 원소 x에 그 자신 x가 대응하는 함수.

즉 위의 그림처럼 f(x)=x인 함수는 일대일 대응함수가 아니라 항등함수이다.

비슷하게 생겨서 헷갈릴 수 있음!

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다시한번 정리하자면, 모든 회사원이 음식을 골라 짝이 이루어진 경우를 함수의 일대일 대응이라고 한다. 그리고 이 경우에만 역함수가 존재한다.

 

역함수란? 더보기v

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역함수

간단히 말하면 서로를 반대로 만드는 함수이다.

함수 f는

a -> 3

b -> 1

c ->2

로 값을 가져간다면

 

역함수 f^-1는 대응관계가 반대로 된다.

1 ->b

2 ->c

c ->a

 

역함수

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두번째 예시

모든 회사원이 하나의 음식만 선택했다. 이런 경우에도 함수가 성립한다.

함수 f: X->Y에서 회사원(정의역) X의 모든 원소 x에 음식(공역) Y의 단 하나의 원소 b가 대응하는 함수이다.

상수함수

 

 

세번째 예시

다음은 잘못된 함수의 예시이다.

아래의 잘못된 예시 1번은 무엇이 잘못되었을까?

1번과 4번 사람은 2개의 음식을 선택했고 2번,3번,5번 사람은 아무 음식도 선택하지 않았다. 

잘못된 예시 1번

 

아래의 잘못된 예시 2번은 무엇이 잘못되었을까?

3번 사람은 모든 음식을 다 선택했고 1, 2, 4, 5번 사람은 아무것도 선택하지 않았다.

음식이 여러번 선택되는것은 괜찮지만 사람이 여러번 음식을 선택하는것은 앞선 규칙에 어긋나기에 잘못된 부분이라고 할 수 있다.

잘못된 예시 2번